傅里葉變換。 快速傅里葉變換 離散傅里葉變換

傅立葉變換是將函數與某個實際變量相關聯的變換。 每次聽到不同的聲音時，都會執行此操作。 耳朵產生一個自動“計算”，我們的意識只有在研究了相應的高等數學課程後才能執行。 人類的聽覺器官構成了一種變換，其結果是提供聲音（在固體，液體或氣體介質中以波浪形式傳播的彈性介質中的調節顆粒的振動運動）作為不同高度的音調的連續水平的頻譜。 之後，大腦把這個信息變成熟悉的聲音。

數學傅里葉變換

聲波或其他振動過程（從光輻射和海洋潮汐到恆星或太陽活動週期）的轉變也可以使用數學方法進行。 因此，使用這些技術，您可以通過一組正弦分量表示振盪過程來擴展功能，即波形曲線從最小值移動到最大值，然後再次達到最小值，如海浪。 傅立葉變換是一種變換，其函數描述了對應於特定頻率的每個正弦曲線的相位或幅度。 相位是曲線的起點，幅度是其高度。

傅里葉變換（照片中顯示的例子）是一個非常強大的工具，用於各種科學領域。 在某些情況下，它被用作解決在光，熱或電能的影響下發生的動態過程的相當複雜的方程式的手段。 在其他情況下，它允許我們確定複雜振動信號中的常規組件，由於這一點，可以正確地解釋化學，醫學和天文學中的各種實驗觀察。

歷史背景

第一個應用這種方法的人是法國數學家讓·巴蒂斯特傅立葉。 以後以此命名的轉化最初用於描述導熱性的機理。 傅立葉花了他整個成年人學習熱的屬性。 他對確定代數方程根的數學理論作出了重大貢獻。 傅立葉是理工學院教授，埃及學研究所的秘書，是在帝國的服務，在建設通往都靈的道路上（在他的領導下，被排除了超過8萬平方公里的瘧疾沼澤）。 然而，所有這些積極的活動並沒有阻止科學家進行數學分析。 在1802年，他得出了一個描述熱量在固體中傳播的方程式。 在1807年，科學家發現了一種解決這個方程的方法，這被稱為“傅立葉變換”。

熱導率分析

科學家用數學方法來描述熱導率的機理。 在計算中沒有困難的一個方便的例子是沿著一部分在火中浸入的鐵環的熱能的傳播。 為了進行實驗，傅里葉加熱了該環的紅色部分，並將其埋在細砂中。 之後，他測量了相對的溫度。 最初，熱分佈是不規則的：環的一部分是冷的而另一個是熱的，這些區之間可以觀察到一個明顯的溫度梯度。 然而，在金屬的整個表面上的熱傳播過程中，其變得更加均勻。 所以，很快這個過程就是一個正弦曲線的形式。 起初，曲線逐漸增加，並且平滑地減小，正好根據余弦或正弦函數變化的規律。 波逐漸變平，因此，環的整個表面的溫度變得相同。

該方法的作者提出，初始不規則分佈可以完全分解為一系列基本正弦曲線。 他們每個都有自己的階段（初始位置）和自己的溫度最大值。 在這種情況下，每個這樣的組件從最小到最大，並且圍繞環的整個轉動返回一整數次。 具有一個週期的分量被稱為主諧波，具有兩個或更多個週期的值是第二個等等。 因此，描述溫度最大值，相位或位置的數學函數稱為分佈函數的傅里葉變換。 科學家將單一的組件（這個難以數學描述的）減少到易於使用的餘弦和竇行的工具，這些工具一起提供初始分佈。

分析的本質

將這一分析應用於通過具有環形形狀的固體物體的熱傳播的轉換，數學家認為增加正弦分量的周期將導致其快速衰減。 這很好地追溯到基礎和二次諧波。 在後者中，溫度在一次通過中達到最大值和最小值兩次，而在第一次只有一次。 事實證明，二次諧波中的熱量克服的距離將是主要的一半。 此外，第二次的梯度也將比第一次的斜率高兩倍。 因此，由於更強烈的熱流通過最寬的距離，所以給定的諧波將會衰減比基波的四倍，作為時間的函數。 在下文中，這個過程將發生得更快。 數學家認為這種方法允許我們計算初始溫度分佈隨時間的過程。

挑戰同時代人

傅立葉變換算法成為當時數學理論基礎的挑戰。 十九世紀初，絕大多數優秀的科學家，包括拉格朗日，拉普拉斯，泊松，勒讓德和生物，都不接受他的斷言，即初始溫度分佈分解為基本成分和較高頻率。 然而，科學院不能忽視數學家所獲得的結果，並給予他一個熱傳導定律理論的獎勵，並將其與物理實驗進行比較。 在傅立葉方法中，主要的反對是由不連續函數由連續的幾個正弦函數的和表示的事實引起的。 畢竟，他們描述了斷開的直線和曲線。 科學家的同時代人從未遇到類似的情況，當不連續的功能被連續的功能描述，如二次，線性，正弦或指數時。 如果數學家在他的發言中是正確的，那麼無限系列的三角函數的總和必須減少到一個確切的步驟。 那時候，這樣的陳述似乎是荒謬的。 然而，儘管有疑問，一些研究人員（例如，Claude Navier，Sophie Germain）擴大了研究範圍，並將其轉移到熱能分佈分析之外。 數學家同時繼續受到幾個正弦函數的和是否可以減少為不連續函數的精確表示的問題。

200年的歷史

這個理論在兩個世紀以來已經發展起來，今天終於形成了。 在其幫助下，空間或時間函數被分為正弦分量，它們具有它們自己的頻率，相位和幅度。 這種變換是通過兩種不同的數學方法得到的。 在初始功能連續的情況下，應用第一種方法，第二種是在一組離散的個體變化表示的情況下。 如果表達式是從離散間隔確定的值中獲得的，則可以將其分為幾個具有離散頻率的正弦表達式，從最低頻率，然後兩倍，三倍等等，高於基波頻率。 該量通常稱為 傅立葉級數。 如果初始表達式由每個實數的值給出，則可以將其分解為幾個正弦曲線所有可能的頻率。 它通常稱為傅里葉積分，解決方案意味著函數的積分變換。 無論獲得變換的方法如何，應為每個頻率指定兩個數字：振幅和頻率。 這些值表示為單個 複數。 複合變量表達式與傅里葉變換相結合的理論使得我們能夠對各種電路的構造，機械振盪分析，波浪傳播機制的研究等進行計算。

傅立葉變換今天

現在，這個過程的研究基本上是減少到尋找有效的從功能向轉換形式轉變的方法。 該解決方案稱為直接和逆傅立葉變換。 這是什麼意思？ 為了 確定積分 並執行直接傅里葉變換，可以使用數學方法，甚至是分析方法。 儘管在實踐中使用它們時有一些困難，但大多數積分已經被發現並被輸入到數學參考書中。 使用數值方法，可以計算表達式，其形式基於實驗數據，或者其表達式中不存在積分且難以以分析形式呈現的函數。

在計算機技術的出現之前，這種轉換的計算是非常繁瑣的，它們需要手動執行大量的算術運算，這取決於描述波函數的點數。 為了便於計算，今天有一些特別方案允許實施新的 分析方法。 所以，在1965年，詹姆斯·科利和約翰·圖伊基創建了被稱為“快速傅里葉變換”的軟件。 它可以節省進行計算的時間，因為在曲線分析時減少了乘法數。 “快速傅里葉變換”方法是基於將曲線劃分成大量的均勻樣本值。 因此，乘法次數減少了一倍，點數減少了一倍。

傅立葉變換的應用

這個過程用於各種科學領域： 數理論， 物理學，信號處理，組合，概率論，密碼學，統計學，海洋學，光學，聲學，幾何學等。 其應用的豐富可能性基於許多有用的特徵，這被稱為“傅立葉變換的屬性”。 考慮一下

函數的變換是線性運算符，相應的歸一化是一致的。 這個屬性被稱為Parseval定理，或者在一般情況下是Plancherel定理，或者是Pontryagin二元論。

轉型是可逆的。 而相反的結果與幾乎相同的形式，以及直接的解決方案。

正弦基本表達式是本徵函數。 這意味著這種表示將具有常數係數的 線性方程 修改為普通代數 方程 。

根據“卷積”定理，該過程將復雜的運算轉換為基本乘法。

可以使用“快速”方法在計算機上快速計算離散付里葉變換。

傅立葉變換的品種

這個術語通常用於表示連續變換，其提供任何二次積分錶達式作為具有特定角頻率和幅度的複指數表達式的和。 這種物種有幾種不同的形式，它們的常數可能不同。 連續的方法包括轉換錶，可以在數學參考書中找到。 廣義的情況是一個分數變換，通過這種變換，可以將給定的過程提升到必要的實際功率。

連續方法是對存在於有界域中的各種 週期函數 或表達式定義的傅立葉級數早期技術的概括，並將其表示為一系列正弦曲線。

離散傅里葉變換。 該方法用於科學計算和數字信號處理的計算機技術。 為了進行這種計算，需要具有確定離散集合單個點，週期或有界域而不是連續傅里葉積分的函數。 在這種情況下的信號轉換錶示為正弦曲線的總和。 在這種情況下，使用“快速”方法可以使我們為任何實際任務應用離散解決方案。

窗口傅里葉變換是經典方法的一般化形式。 與標準解決方案不同，當使用信號頻譜，其在給定變量的存在的全部範圍內採用時，僅當保持初始變量（時間）時，局部頻率分佈才是特別有意義的。

二維傅里葉變換。 該方法用於處理二維數據集。 在這種情況下，首先在一個方向進行轉換，然後在另一個方向進行。

結論

今天傅立葉方法在各個科學領域牢牢紮根。 例如，在1962年，使用傅立葉分析與X射線衍射結合發現了雙DNA螺旋的形式。 後者聚焦於DNA纖維的晶體，其結果是將輻射衍射期間獲得的圖像固定在膜上。 該圖給出了當使用傅立葉變換給定晶體結構時幅度值的信息。 通過比較DNA的衍射圖與分析類似化學結構時獲得的圖譜，獲得相的數據。 結果，生物學家已經恢復了晶體結構 - 原有的功能。

傅立葉變換在外太空研究，半導體材料和等離子體的物理學，微波聲學，海洋學，雷達，地震學和醫學調查等方面起著重要的作用。