平面的方程：如何使？ 類型平面方程

的平面的空間可以以不同的方式（一個點和向量，向量和的兩個點，三個點，等等）來定義。 正是考慮到這一點，平面方程可以有不同的類型。 也在一定條件下平面可以是平行的，垂直的，交叉的，等 在此，將在這篇文章中談。 我們將學習製作飛機，不僅是一般方程。

方程的正常形態

假定R為空間_3，其中有一個直角坐標系XYZ。 我們定義一個矢量α，這將從起點O.被釋放通過矢量α的端繪製平面P垂直於它。

在任意的點Q =（X，Y，Z）表示P上。 點Q標誌字母P的矢徑。 向量的長度等於αP =IαI和Ʋ=（cosα，cosβ，cosγ）。

這個單位矢量，其被定向在方向矢量α。 α，β和γ - 是將載體和正方向之間形成的角度Ʋ空間軸x，y，分別沿Z。 上矢量QεPƲ的點的投影是一個常數，它等於p（P，Ʋ）= P（r≥0）。

上面的等式是有意義當p = 0。 在這種情況下，n只有平面，將交叉點O（α= 0），這是原點，單位矢量Ʋ，從點O發布將垂直於P，雖然其方向，這意味著所述載體Ʋ確定達跡象。 上一頁方程是我們的飛機P，表達載體形式。 但鑑於其坐標是：

P是大於或等於0。我們已發現在正常形式的平面方程。

一般方程

如果坐標方程的任意數目的不等於零繁衍，我們得到相當於這個公式定義很平面。 這將有以下形式：

這裡，A，B，C - 是同時不同於零的數目。 這個公式被稱為平面的一般形式的方程。

平面的方程。 特殊情況

等式通常可以用另外的條件進行修改。 考慮其中的一些。

假設該係數A為0。這表明，平行於預定軸Ox的平面。 在這種情況下，方程式的形式變化：吳+鋯+ D = 0。

同樣地，方程的形式，並且將與以下條件而變化：

• 首先，如果B = 0時，方程變為斧+鋯+ D = 0，這將指示的平行於軸線Oy公司。
• 其次，如果C = 0時，方程被變換成AX + + D = 0，即繞平行於預定軸線盎司。
• 第三，如果D = 0時，方程將顯示為AX + +鋯= 0，這將意味著該平面相交O（原點）。
• 第四，如果A = B = 0時，方程變為鋯石+ D = 0，這將證明並行性氧。
• 第五，如果B = C = 0時，等式變成AX + D = 0，這意味著該平面平行於OYZ。
• 第六，如果A = C = 0時，方程採用以下形式吳+ D = 0，即，將這種平行OXZ報告。

在段中的方程的形式

在的情況下數A，B，C，D不同於零，方程的形式（0）可以為如下：

X / A + Y / B + Z / C = 1，

其中a = -D / A，B = -D / B，C = -D / C.

我們收到了飛機的碎片結果方程。 應當指出的是，該平面將與在坐標（a，0,0），OY點相交的x軸 - （0，B，0），和盎司 - （0,0，S）。

鑑於方程x / A + Y / B + Z / C = 1，就不難相對於放置平面可視化到預定的坐標系。

法線向量的坐標

法線向量n的平面P具有是平面的一般方程，即n（A，B，C）的係數坐標。

為了確定正常n的坐標，就足以知道定平面的一般方程。

當其中具有部分使用等式形式的x / A + Y / B + Z / C = 1，作為與該一般方程，我們可以寫的任何給定平面的法向矢量的坐標：（1 / A + 1 / B + 1 / C）。

應當指出的是，幫助的法向量解決各種問題。 最常見的問題是由在證明垂直或平行的平面，求出平面或平面和直線之間的角度之間的角度的任務。

根據點法線矢量的平面方程和坐標輸入

一個非零向量n垂直於給定平面，稱為正常（正常）到預定的平面上。

假設在坐標空間（直角坐標系）OXYZ設置：

• Mₒ點坐標為（hₒ，uₒ，zₒ）;
• 零矢量n = A * 1 + B * J + C *ķ。

你需要通過Mₒ點垂直於法線n的平面上的方程。

在空間，我們選擇任意點和表示M（X，Y，Z）。 讓每個點M（X，Y，Z）的半徑矢量將是R = X * I + Y * J + Z * k和a點Mₒ的半徑矢量（hₒ，uₒ，zₒ） - rₒ=hₒ* 1 +uₒ * J +zₒ* k個。 點M將屬於給定平面，如果矢量MₒM垂直於向量n。 我們寫使用標產品的正交性條件：

[MₒM中，n] = 0。

由於MₒM= R-rₒ，平面的向量方程將看起來像這樣：

[R - rₒ中，n] = 0。

這個公式也可以有另一種形狀。 為了這個目的，該標量積的屬性，並轉換等式的左側。 [R - rₒ，N] = [R，N] - [rₒ，N]。 如果[rₒ，N]表示為s，我們得到下面的等式：[R，N] - α= 0或[R，N] = s，這表示在屬於平面上的給定的點的半徑矢量的法線矢量的突起的恆定性。

現在可以得到的坐標型記錄平面我們的向量方程[R - rₒ中，n] = 0。由於R-rₒ=（X-hₒ）* I +（Y-uₒ）* J +（Z-zₒ）* k，以及N = A * 1 + B * J + C * K，我們有：

事實證明，我們有方程形成平面通過點垂直於法線n：

A *（Xhₒ）+ B *（Yuₒ）S *（Z-zₒ）= 0。

根據平面方程和的矢量平面共線的兩個點的坐標輸入

我們定義兩個任意點M'（X'，Y'，Z'）和M“（X”，Y“，Z”），以及載體（A'，A“，一個'''）。

現在，我們可以寫出方程預定平面穿過現有點M'和M“，並且與坐標M（X，Y，Z）平行於給定矢量中的每個點。

因此M'M向量x = {X'，Y-Y'; ZZ'}和M“M = {X”-x'，Y'Y'; Z“-z'}應該是共面的與所述載體α=（A'，A“，一個'''），這意味著（M'M M”男，A）= 0。

因此，我們在一個空間平面的方程如下所示：

平面方程的類型，穿越三點

比方說，我們有三點：（X'，Y'，Z'），（X'，Y'，Z'），（X''''''有無，Z'''），它不屬於同一行。 有必要寫通過指定的三個點的平面方程。 幾何理論認為，這種飛機確實存在，它只是一個也是唯一。 由於該平面相交的點（X'，Y'，Z'），它的等式形式將是：

在這裡，A，B，和C是在同一時間從不同的零。 也給定平面相交兩個點（X“，Y”，Z“）和（x'''，Y'''，Z'''）。 在這方面，應該進行這樣的條件：

現在，我們可以創建一個統一的系統 方程（線性）的 未知數U，V，W：

在我們的情況下的x，y或z表示滿足等式（1）任意點。 考慮公式（1）和等式（2）和（3）如上述圖中所示的方程的系統的系統，所述載體滿足N（A，B，C），這是平凡的。 這是因為系統的行列式為零。

式（1），我們已經有了，這就是平面的方程。 3點她真的去，而且很容易檢查。 要做到這一點，我們在第一行中的元素擴大的決定因素。 的現有屬性行列式如下，我們的平面相交同時三個原本預定點（X'，Y'，Z'），（X“，Y”，Z“），（X'''，Y'''，Z'''）。 因此，我們決定在我們面前的任務。

在平面之間二面角

二面角是由從一個直線發出兩個半平面所形成的空間的幾何形狀。 換句話說，其被限定於半平面的空間的一部分。

假設我們有兩個平面與下面的公式：

我們知道，矢量N =（A，B，C），並根據預定的平面-N'=（A'，H'，S 1）是垂直的。 在這方面，φ矢量N和-N'相等的角度（二面角），其位於這些平面之間的夾角。 標積計算公式如下：

NN¹= | N || -N'| cosφ值，

正是因為

COSφ=NN¹/ | N || -N'| =（AA¹+VV¹SS¹+）/（（√（A²+秒²+V²））*（√（A'）2 +（H'）2 +（S 1）2））。

這足以考慮0≤φ≤π。

實際上兩個平面相交，形成兩個角（二面角_）：φ1和_φ2。 它們的總和等於_{π（φ1 +φ2} =π）。 至於他們餘弦，其絕對值是相等的，但它們是不同的標誌，即_，COSφ1 = _-cosφ2。 如果式（0）由A，B和-A，-B的C和-C分別方程取代，我們得到，將確定在同一平面，唯一的角φ等式COSφ= NN ¹ / | ñ|| N + ¹ | 它將由π-φ所取代。

垂直平面的方程

垂直平面調用，這之間的角度為90度。 使用上面介紹的材料，我們可以發現一個平面方程與垂直於另一方。 假設我們有兩個平面：AX + +鋯+ D = 0，+A¹hV¹uS¹z+ + D = 0。 我們可以說，他們是正交的，如果COS = 0。 這意味著，NN¹=AA¹+VV¹SS¹+ = 0。

的平行平面的方程

它提到包含在共同沒有點的兩個平行的平面。

的條件的平行平面 （它們的方程式是一樣的，在前面的段落）是向量N和-N'，其是垂直於它們，共線的。 這意味著，滿足以下條件的比例：

A / A'= B / C = H'/ S 1。

如果比例術語擴展 - A / A'= B / C = H'/ S 1 =DD¹，

這表明相同的數據平面。 這意味著，方程AX + +鋯+ D = 0和+A¹hV¹uS¹z+ + D'= 0描述一個平面上。

由點到面的距離

假設我們有一個平面P，這是（0）給出。 有必要找到該點的距離與坐標（hₒ，uₒ，zₒ）=Qₒ。 ，你需要把公式中的平面II正常外觀，使其：

（Ρ，V）= P（r≥0）。

在這種情況下，ρ（X，Y，Z）是我們的點Q，位於N p個的半徑矢量 - n是垂直，將其從零點釋放的長度，V - 是單位矢量，其佈置在一個方向。

點Q =（X，Y，Z），用P所擁有的差ρ-ρº半徑矢量和一個給定的點的半徑矢量Q ₀ =（hₒ，uₒ，zₒ）是載體，其上的突出部的絕對值v等於距離d，這是必要自Q找到= _{0（hₒ，uₒ，zₒ）}至P：

D = ^{|（ρ-ρ0，V）|，}但

^{（ρ-ρ0，V）=（ρ，V} ） - （ρ ^{0，V）= P（ρ0，v）}中。

因此，原來，

D = ^{|（ρ0，v）}的P |。

現在很明顯，從₀計算的距離d，來Q平面P，它是必要的，使用普通的視平面方程，移位至p的左側，並且x，y的最後一個地方，Z的替代（hₒ，uₒ，zₒ）。

因此，我們發現，需要d中的所得表達的絕對值。

使用語言的參數，我們得到了很明顯的：

D = |AhₒVuₒ+ +Czₒ| /√（A²+V²+秒²）。

如果指定的點Q ₀是在平面P為原點的另一側，則矢量之間^ρ-ρ0和v是 鈍角， 從而：

D = - ^{（ρ-ρ0，V）=（ρ0，V）-p>} 0。

在當在與位於U的同一側的起源結合點Q _0，創建銳角的情況下，即：

D ^{=（ρ-ρ0，V）=} P - ^{（ρ0，V）>} 0。

其結果是，在前者的情況下^{（ρ0，V）>} P，在第二^{（ρ0，V）}

而它的切平面方程

關於平面表面在切Mº的點 - 包含所有可能的切線通過表面上的點繪製的曲線的平面。

與方程F（X，Y，Z）= 0的切平面切點Mº的式（hº，uº，zº）將是該表面形式：

_{˚FX（hº，uº，zº）（hºX）+} F _{X（hº，uº，zº）（uºY）+} F _{X（hº，uº，zº）（Z-zº）} = 0。

如果表面被設置顯式Z = F（X，Y），然後切平面由下式描述：

Z-zº= F（hº，uº）（hºX）+ F（hº，uº）（Yuº）。

兩個平面的交叉點

在三維空間中是給定的兩個平面P'和P'重疊和不重合的坐標系統（矩形）OXYZ，。 由於任何平面，該平面是在直角坐標系由一般式定義，我們假設是n + B X'+ Y'“A = 0和和n是由式A'x + V'u S'z + + D'定義”以“Z + D”= 0。 在這種情況下，我們有平面P'與法線n“（A”，B“，C”）的平面P的'的法線n'（A'，B'，C'）。 由於我們的平面不平行，不相吻合，那麼這些向量不共線。 使用數學語言，我們有這個條件可以寫為：n'≠n“個↔（A'，B'，C'）≠（λ*而”，λ*在“，λ* C”），λεR。 讓其位於在交點P上的直線'和P“，將由字母A來表示，在這種情況下為= P'∩P”。

和 - 一個線由多個點（共同）面P'和P“的。 這意味著，屬於該行的任何一個點的坐標，必須同時滿足等式A'x + V'u S'z + + D'= 0和A“X + B'+ C Y”Z + D“= 0。 這意味著點的坐標將是以下等式的特定的解決方案：

其結果是，該方程組的溶液（總）將確定在哪個將作為交叉點P'和P“的點的線中的每個點的坐標，並確定坐標系OXYZ（矩形的）空間中的線。